a) Hai kim đồng hồ cùng gắn vào một trục quay, nên (T₁) và (T₂) đồng tâm. Vì kim dài hơn kim ngắn (R₁ > R₂), nên (T₁) chứa (T₂).
b) Gọi O là tâm chung của (T₁) và (T₂), O' là tâm của (T₃).
Theo đề: \(OO' = \dfrac{1}{2}R_1\), \(R_3 = \dfrac{1}{2}R_2\).
Xét (T₁) và (T₃):
\(R_1 + R_3 > R_1 > \dfrac{1}{2}R_1 = OO'\), suy ra \(R_1 + R_3 > OO'\).
\(R_1 - R_3 = R_1 - \dfrac{1}{2}R_2 = \dfrac{1}{2}R_1 + \dfrac{1}{2}(R_1 - R_2)\).
Vì \(R_1 > R_2\) nên \(R_1 - R_2 > 0\), do đó \(R_1 - R_3 > \dfrac{1}{2}R_1 = OO'\), tức là \(OO' < R_1 - R_3\).
Vậy (T₁) chứa (T₃).
Xét (T₂) và (T₃):
\(R_2 - R_3 = R_2 - \dfrac{1}{2}R_2 = \dfrac{1}{2}R_2 < \dfrac{1}{2}R_1 = OO'\), suy ra \(OO' > R_2 - R_3\).
\(R_2 + R_3 = R_2 + \dfrac{1}{2}R_2 = \dfrac{3}{2}R_2\). So sánh \(\dfrac{3}{2}R_2\) với \(OO' = \dfrac{1}{2}R_1\), tức là so sánh \(3R_2\) với \(R_1\):
- Nếu \(3R_2 > R_1\) thì \(R_2 + R_3 > OO'\), suy ra \(R_2 - R_3 < OO' < R_2 + R_3\). Vậy (T₂) và (T₃) cắt nhau.
- Nếu \(3R_2 = R_1\) thì \(R_2 + R_3 = OO'\). Vậy (T₂) và (T₃) tiếp xúc ngoài.
- Nếu \(3R_2 < R_1\) thì \(R_2 + R_3 < OO'\). Vậy (T₂) và (T₃) ở ngoài nhau.
Với R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm:
\(3R_2 = 6 > 3 = R_1\), nên (T₂) và (T₃) cắt nhau.
\(R_3 = \dfrac{1}{2} \times 2 = 1\) cm; \(OO' = \dfrac{1}{2} \times 3 = \dfrac{3}{2}\) cm.
Hình vẽ ba đường tròn:
