Tính chu vi và diện tích lục giác đều nội tiếp đường tròn

Gọi hình vuông ABCD và lục giác đều EFGHIJ cùng nội tiếp đường tròn (O). Tính bán kính đường tròn (O): Tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 3^2 = 18 \Rightarrow AC = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}\] Bán kính đường tròn: \(R = OE = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) cm. Chứng minh cạnh lục giác đều bằng R: Vì EFGHIJ là lục giác đều nên \(EF = FG = GH = HI = IJ = JE\). Vì lục giác nội tiếp (O) nên \(OE = OF = OG = OH = OI = OJ = R\). Do đó: \(\Delta EOF = \Delta FOG = \Delta GOH = \Delta HOI = \Delta IOJ = \Delta JOE\) (c.c.c). Suy ra: \[\widehat{EOF} = \widehat{FOG} = \widehat{GOH} = \widehat{HOI} = \widehat{IOJ} = \widehat{JOE} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\] Tam giác EOF có \(OE = OF\) và \(\widehat{EOF} = 60^\circ\) nên tam giác EOF đều. Do đó: \(EF = OE = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) cm. Tính chu vi: \[P = 6 \cdot EF = 6 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \text{ (cm)}\] Tính diện tích: Kẻ OK vuông góc EF tại K (K là trung điểm EF). \[EK = \frac{1}{2} EF = \frac{3\sqrt{2}}{4} \text{ (cm)}\] Tam giác OKE vuông tại K, áp dụng định lí Pythagore: \[OK = \sqrt{OE^2 - EK^2} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{18}{4} - \frac{18}{16}} = \sqrt{\frac{72-18}{16}} = \sqrt{\frac{54}{16}} = \frac{3\sqrt{6}}{4} \text{ (cm)}\] Diện tích tam giác EOF: \[S_{EOF} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{4} = \frac{9\sqrt{12}}{16} = \frac{9 \cdot 2\sqrt{3}}{16} = \frac{9\sqrt{3}}{8} \text{ (cm}^2\text{)}\] Diện tích lục giác EFGHIJ: \[S_{EFGHIJ} = 6 \cdot S_{EOF} = 6 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{8} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}\] Vậy chu vi lục giác đều là \(9\sqrt{2}\) cm và diện tích là \(\dfrac{27\sqrt{3}}{4}\) cm².