Chứng minh tứ giác nội tiếp và tiếp tuyến với đường tròn trong tam giác có đường cao

a) Vì BE và CF là đường cao của tam giác ABC nên \(BE \perp AC\) và \(CF \perp AB\), suy ra: \[\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ\] Do đó tam giác AFH vuông tại F và tam giác AEH vuông tại E. Suy ra bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tròn có đường kính AH (vì cả E lẫn F đều nhìn AH dưới góc 90°). I là trung điểm AH nên I là tâm của đường tròn đó. Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I. b) Vì tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I nên \(IA = IE\) (cùng là bán kính). Do đó tam giác IAE cân tại I, suy ra: \[\widehat{IAE} = \widehat{IEA}\] Mặt khác, \(\widehat{EAI} = \widehat{EBC}\) vì hai góc này cùng phụ với góc ACB (trong tam giác vuông BEC và tam giác vuông BFC). Vậy: \[\widehat{IEA} = \widehat{EBC} \quad (1)\] Tam giác BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên đường trung tuyến EM thỏa mãn \(EM = MC\). Do đó tam giác MEC cân tại M, suy ra: \[\widehat{MCE} = \widehat{MEC} \quad (2)\] Tam giác BEC vuông tại E nên: \[\widehat{ECB} + \widehat{EBC} = 90^\circ \quad (3)\] Từ (1), (2) và (3): \[\widehat{MEC} + \widehat{IEA} = \widehat{ECB} + \widehat{EBC} = 90^\circ\] Vì \(\widehat{MEC} + \widehat{IEA} + \widehat{IEH} + \widehat{HEM} = 180^\circ\) (các góc tạo thành góc bẹt tại E trên đường thẳng), suy ra: \[\widehat{IEM} = 90^\circ\] Vậy \(IE \perp ME\) tại E. Vì E là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF và ME vuông góc với bán kính IE tại E, nên ME là tiếp tuyến của đường tròn đó. Chứng minh hoàn toàn tương tự với F: \(\widehat{IFM} = 90^\circ\), suy ra MF cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.