Chứng tỏ biểu thức A có giá trị nguyên

Áp dụng công thức \(\sqrt{A^2} = |A|\): \[A = \sqrt{\left(1 + 2\sqrt{2}\right)^2} - \sqrt{\left(1 - 2\sqrt{2}\right)^2} = \left|1 + 2\sqrt{2}\right| - \left|1 - 2\sqrt{2}\right|\] Xét dấu: - Vì \(1 + 2\sqrt{2} > 0\) nên \(\left|1 + 2\sqrt{2}\right| = 1 + 2\sqrt{2}\). - Vì \(2\sqrt{2} \approx 2{,}83 > 1\) nên \(1 - 2\sqrt{2} < 0\), do đó \(\left|1 - 2\sqrt{2}\right| = 2\sqrt{2} - 1\). Thay vào: \[A = \left(1 + 2\sqrt{2}\right) - \left(2\sqrt{2} - 1\right) = 1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1 = 2\] Vậy \(A = 2\) là số nguyên.