Chứng minh góc bằng nhau và tích hai đoạn thẳng bằng nhau với hai cát tuyến từ điểm ngoài đường tròn
Problem:
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng \(\widehat{IBD} = \widehat{ICA}\), \(\widehat{IAC} = \widehat{IDB}\) và \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\).
Vì A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O) nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh \(\widehat{IBD} = \widehat{ICA}\):
Tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{ABD} + \widehat{ACD} = 180°\).
\(\widehat{ICA}\) và \(\widehat{ACD}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat{ICA} + \widehat{ACD} = 180°\).
Từ hai đẳng thức trên suy ra \(\widehat{IBD} = \widehat{ICA}\).
Chứng minh \(\widehat{IAC} = \widehat{IDB}\):
Tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{CAB} + \widehat{CDB} = 180°\).
\(\widehat{CAB}\) và \(\widehat{IAC}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat{CAB} + \widehat{IAC} = 180°\).
Từ hai đẳng thức trên suy ra \(\widehat{IAC} = \widehat{IDB}\).
Chứng minh \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\):
Xét tam giác IAC và tam giác IDB:
- Góc I chung.
- \(\widehat{ICA} = \widehat{IBD}\) (đã chứng minh).
Do đó \(\Delta IAC \sim \Delta IDB\) (g-g).
Suy ra \(\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{IC}{IB}\), tức là \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\). \(\square\)