Rút gọn biểu thức chứa căn thức

a) \(\dfrac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}\) Tách tử phân thức thứ nhất: \(5 + 3\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 3)\), suy ra: \[\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+3)}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 3\] Trục căn phân thức thứ hai, nhân tử và mẫu với \(\sqrt{5}+2\): \[\dfrac{1}{\sqrt{5}-2} = \dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2\] Vậy: \[\sqrt{5}+3 - (\sqrt{5}+2) = \sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2 = 1\] b) \(\sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} - \sqrt{63} + \dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}\) Vì \(\sqrt{7} > 2\) nên \(|\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2\). Phân tích: \(\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}\); \(\dfrac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\). Vậy: \[(\sqrt{7}-2) - 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = (\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) - 2 = 0 - 2 = -2\] c) \(\dfrac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} + \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}}\) Vì \(\sqrt{3} > \sqrt{2} > 0\) nên cả hai giá trị tuyệt đối đều dương: \[\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}; \quad \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}\] Tử: \((\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}\). Mẫu: \(2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\). Vậy: \[\dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}\] d) \(\dfrac{\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3} - 1}{\sqrt{50}}\) Vì \(\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3} = \sqrt{2}+1\), tử bằng \((\sqrt{2}+1) - 1 = \sqrt{2}\). Mẫu: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\). Vậy: \[\dfrac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{5}\]