Tính độ dài các cung trong đường tròn với tam giác cân nội tiếp
Problem:
Cho đường tròn (O; 4 cm) và ba điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và số đo cung nhỏ BC bằng \(70^\circ\).
a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau.
b) Tính độ dài của các cung BC, AB và AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OAC\) có:
— OA chung
— OB = OC = R (bán kính đường tròn)
— AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
Suy ra \(\Delta OAB = \Delta OAC\) (c.c.c)
\(\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{AOC}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow\) sđ \(\overset\frown{AB}\) = sđ \(\overset\frown{AC}\)
\(\Rightarrow \overset\frown{AB} = \overset\frown{AC}\)
b) Độ dài cung BC:
\[l_{BC} = \frac{70}{180} \cdot \pi \cdot 4 = \frac{14}{9}\pi \approx \frac{14}{9} \cdot 3{,}14 \approx 4{,}9 \text{ (cm)}\]
Tính số đo cung AB và AC:
\(\widehat{AOB} + \widehat{AOC} + \widehat{BOC} = 360°\)
\(\Rightarrow 2 \cdot \widehat{AOB} + 70° = 360°\)
\(\Rightarrow 2 \cdot \widehat{AOB} = 290°\)
\(\Rightarrow \widehat{AOB} = 145°\)
Vậy sđ cung AB = sđ cung AC = 145°.
Độ dài cung AB và cung AC:
\[l_{AB} = l_{AC} = \frac{145}{180} \cdot \pi \cdot 4 = \frac{29}{9}\pi \approx \frac{29}{9} \cdot 3{,}14 \approx 10{,}1 \text{ (cm)}\]