Chứng minh ba tứ giác nội tiếp từ đường cao tam giác

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD ⊥ BC, BE ⊥ AC, CF ⊥ AB. Do đó: \(\widehat{ADB} = \widehat{ADC} = \widehat{BEC} = \widehat{BEA} = \widehat{AFC} = \widehat{CFB} = 90°\). Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp: Vì \(\widehat{BFC} = 90°\) nên tam giác BFC vuông tại F, suy ra F thuộc đường tròn đường kính BC. Vì \(\widehat{BEC} = 90°\) nên tam giác BEC vuông tại E, suy ra E thuộc đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Suy ra tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp. Chứng minh CAFD là tứ giác nội tiếp: Vì \(\widehat{AFC} = 90°\) nên tam giác AFC vuông tại F, suy ra F thuộc đường tròn đường kính AC. Vì \(\widehat{ADC} = 90°\) nên tam giác ADC vuông tại D, suy ra D thuộc đường tròn đường kính AC. Vậy bốn điểm C, A, F, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC. Suy ra tứ giác CAFD là tứ giác nội tiếp. Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp: Vì \(\widehat{ADB} = 90°\) nên tam giác ADB vuông tại D, suy ra D thuộc đường tròn đường kính AB. Vì \(\widehat{AEB} = 90°\) nên tam giác AEB vuông tại E, suy ra E thuộc đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB. Suy ra tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp.