Phép quay tạo hình bát giác đều từ hình vuông nội tiếp đường tròn
Problem:
Bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều \(45^o\) tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H.
a) Vẽ đa giác EAFBGCHD.
b) Đa giác EAFBGCHD có phải là hình bát giác đều không? Vì sao?
a) Vẽ đường tròn (O). Trên đường tròn vẽ hình vuông ABCD với các đỉnh theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.
Vẽ điểm E trên đường tròn (O) sao cho tia OA quay thuận chiều 45° đến tia OE, tức là \(\widehat{AOE} = 45°\).
Xác định tương tự các điểm F, G, H: phép quay 45° biến B thành F, C thành G, D thành H.
Nối lần lượt E–A–F–B–G–C–H–D–E ta được đa giác EAFBGCHD.
b) Vì A, E, D, H, C, G, B, F đều thuộc đường tròn (O) nên:
\[OA = OE = OD = OH = OC = OG = OB = OF\]
Vì ABCD là hình vuông nội tiếp (O):
\[\widehat{AOD} = \widehat{DOC} = \widehat{COB} = \widehat{BOA} = 90°\]
Lại có \(\widehat{AOE} = \widehat{BOF} = \widehat{COG} = \widehat{DOH} = 45°\) nên:
\[\widehat{DOE} = \widehat{AOF} = \widehat{BOG} = \widehat{COH} = 45°\]
Xét 8 tam giác:
\[\Delta AOE = \Delta DOE = \Delta DOH = \Delta COH = \Delta COG = \Delta BOG = \Delta BOF = \Delta AOF \quad (c.g.c)\]
vì hai cạnh góc vuông bằng nhau (hai bán kính bằng nhau) và góc ở đỉnh bằng nhau (đều bằng 45°).
Suy ra:
+) \(AE = ED = DH = HC = CG = BG = BF = FA\) (8 cạnh bằng nhau).
+) Các góc đáy của 8 tam giác cân đó đều bằng nhau:
\[\widehat{OAE} = \widehat{OEA} = \widehat{OED} = \widehat{ODE} = \widehat{ODH} = \widehat{OHD} = \widehat{OHC} = \widehat{OCH} = \widehat{OCG} = \widehat{OGC} = \widehat{OGB} = \widehat{OBG} = \widehat{OBF} = \widehat{OFB} = \widehat{OFA} = \widehat{OAF}\]
Do đó:
\[\widehat{FAE} = \widehat{AED} = \widehat{EDH} = \widehat{DHC} = \widehat{HCG} = \widehat{CGB} = \widehat{GBF} = \widehat{BFA}\]
(8 góc trong bằng nhau).
Vậy đa giác EAFBGCHD có 8 cạnh bằng nhau và 8 góc trong bằng nhau, nên EAFBGCHD là hình bát giác đều.