Chứng minh tính chất ba tiếp tuyến của đường tròn
Problem:
Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N.
a) Chứng minh rằng MN = MA + NB.
b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.
c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.
a) MA và MP là hai tiếp tuyến kẻ từ M đến (O), nên MA = MP.
NB và NP là hai tiếp tuyến kẻ từ N đến (O), nên NB = NP.
Do đó: MN = MP + NP = MA + NB. (đpcm)
b) Gọi K là giao điểm của AN và đường thẳng OQ.
Vì BN ⊥ AB và OK ⊥ AB nên BN // OK.
O là trung điểm của AB, nên OK là đường trung bình của tam giác ABN.
Suy ra K là trung điểm của AN.
Vì AM ⊥ AB và QK ⊥ AB nên AM // QK.
K là trung điểm của AN, nên QK là đường trung bình của tam giác AMN.
Suy ra Q là trung điểm của MN. (đpcm)
c) OK là đường trung bình của tam giác ABN nên \(\mathrm{OK} = \dfrac{1}{2}\mathrm{NB}\).
QK là đường trung bình của tam giác AMN nên \(\mathrm{QK} = \dfrac{1}{2}\mathrm{MA}\).
Suy ra:
\[\mathrm{OQ} = \mathrm{OK} + \mathrm{QK} = \frac{1}{2}\mathrm{NB} + \frac{1}{2}\mathrm{MA} = \frac{1}{2}(\mathrm{MA} + \mathrm{NB}) = \frac{1}{2}\mathrm{MN}\]
Vì OQ = \(\dfrac{1}{2}\)MN nên O thuộc đường tròn đường kính MN.
Mặt khác OQ ⊥ AB tại O, tức là AB vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính MN tại điểm O nằm trên đường tròn đó.
Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN. (đpcm)