Chứng minh tính chất đường tròn đường kính và tính độ dài cung, diện tích hình quạt

a) Chiều thuận: A nằm trên đường tròn (O) nên OA = OB = OC (cùng là bán kính). Tam giác ABC có O là trung điểm BC nên AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC, và \(AO = \dfrac{1}{2}BC\). Theo tính chất, tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông tại đỉnh còn lại, nên tam giác ABC vuông tại A. Chiều ngược lại: Nếu tam giác ABC vuông tại A, gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có \(AO = BO = CO = \dfrac{1}{2}BC\). Do đó A, B, C cùng cách O một khoảng bằng \(\dfrac{1}{2}BC\), tức là A nằm trên đường tròn tâm O đường kính BC. b) A thuộc đường tròn (O) nên tam giác BAC vuông tại A (theo câu a). A thuộc đường tròn (B; BO) nên BA = BO. Mà OA = OB (bán kính đường tròn (O)), suy ra AB = BO = OA. Tam giác ABO có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, do đó: \[\widehat{ABO} = \widehat{AOB} = \widehat{BAO} = 60°\] Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat{B} + \widehat{C} = 90°\), tức là: \[60° + \widehat{C} = 90° \Rightarrow \widehat{C} = 30°\] Vậy tam giác ABC có \(\widehat{A} = 90°\), \(\widehat{B} = 60°\), \(\widehat{C} = 30°\). c) Hai góc AOB và AOC kề bù nhau: \[\widehat{AOB} + \widehat{AOC} = 180°\] \[60° + \widehat{AOC} = 180° \Rightarrow \widehat{AOC} = 120°\] BC = 6 cm nên bán kính đường tròn (O) là \(R = 6 : 2 = 3\) cm. Độ dài cung AC (cung bị chắn bởi góc ở tâm 120°): \[l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{180} = 2\pi \text{ (cm)}\] Diện tích hình quạt giới hạn bởi OA, OC: \[S = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \frac{9\pi \cdot 120}{360} = 3\pi \text{ (cm}^2\text{)}\]