Rút gọn biểu thức chứa căn thức bằng đặt nhân tử chung

Ta có: \[\left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\] Đặt nhân tử chung ở từng tử số: \(\sqrt{22} - \sqrt{11} = \sqrt{11}(\sqrt{2} - 1)\) \(\sqrt{21} - \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{3} - 1)\) Viết lại mẫu: \(1 - \sqrt{2} = -(\sqrt{2}-1)\) và \(1 - \sqrt{3} = -(\sqrt{3}-1)\). \[= \left( {\frac{{\sqrt {11} (\sqrt 2 - 1)}}{{ -(\sqrt 2 - 1)}} + \frac{{\sqrt 7 (\sqrt 3 - 1)}}{{ -(\sqrt 3 - 1)}}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\] Rút gọn nhân tử chung ở tử và mẫu: \[= \left( { - \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\] \[= - \left( {\sqrt 7 + \sqrt {11} } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)\] Áp dụng hằng đẳng thức \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) với \(a = \sqrt{7}\), \(b = \sqrt{11}\): \[= -(7 - 11) = -(-4) = 4\]