Tính dây cung, cung tròn và diện tích hình quạt trong đường tròn (O; 5 cm)

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn. Trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm. Kẻ đường thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B. Khi đó AB là dây cần vẽ, khoảng cách từ O đến AB đúng bằng 2,5 cm. b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến AB. Xét tam giác OAH và tam giác OBH: - OA = OB = 5 cm (bán kính) - OH chung - \( \widehat{OHA} = \widehat{OHB} = 90^\circ \) Suy ra \( \Delta OAH = \Delta OBH \) (cạnh huyền – cạnh góc vuông), do đó AH = BH, tức là \( AB = 2AH \). Trong tam giác OAH vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore: \[ AH^2 = OA^2 - OH^2 = 5^2 - 2{,}5^2 = 25 - 6{,}25 = 18{,}75 \] \[ AH = \frac{5\sqrt{3}}{2} \text{ (cm)} \] Do đó: \( AB = 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \text{ (cm)} \) c) Trong tam giác OAH vuông tại H: \[ \cos \widehat{AOH} = \frac{OH}{OA} = \frac{2{,}5}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{AOH} = 60^\circ \] Vì \( \Delta OAH = \Delta OBH \) nên \( \widehat{BOH} = \widehat{AOH} = 60^\circ \). Suy ra: \( \widehat{AOB} = \widehat{AOH} + \widehat{BOH} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \) Vậy số đo cung nhỏ AB là \( 120^\circ \). Độ dài cung nhỏ AB: \[ l = \frac{120}{180} \cdot \pi \cdot 5 = \frac{10\pi}{3} \text{ (cm)} \] d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB: \[ S = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{3} \text{ (cm}^2\text{)} \]