Chứng minh ba cung bằng nhau và tính diện tích hình viên phân trong tam giác đều

a) Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó O là tâm của nửa đường tròn, và \(OB = OD = R\). Tam giác OBD có \(OB = OD\) nên cân tại O. Mà \(\widehat{OBD} = 60°\) (góc của tam giác đều ABC), suy ra \(\widehat{ODB} = 60°\). Do đó tam giác OBD đều, suy ra \(\widehat{BOD} = 60°\). Tương tự, tam giác OCE đều nên \(\widehat{COE} = 60°\). Vì BC là đường kính nên \(\widehat{BOD} + \widehat{DOE} + \widehat{COE} = 180°\). Suy ra \(\widehat{DOE} = 180° - 60° - 60° = 60°\). Ba góc ở tâm \(\widehat{BOD} = \widehat{DOE} = \widehat{COE} = 60°\) nên ba cung nhỏ BD, DE, EC bằng nhau. Số đo mỗi cung bằng \(60°\). b) Bán kính của nửa đường tròn: \[R = OB = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ (cm)}\] Diện tích hình quạt tròn tâm O, góc ở tâm 60°, bán kính \(\sqrt{3}\): \[S_q = \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{6} \cdot 3\pi = \frac{\pi}{2} \text{ (cm}^2\text{)}\] Tính diện tích tam giác OBD: Kẻ \(DH \perp OB\). Tam giác OBD đều cạnh \(\sqrt{3}\) nên DH là đường cao đồng thời là trung tuyến, suy ra H là trung điểm OB. \[OH = \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ODH: \[DH = \sqrt{OD^2 - OH^2} = \sqrt{3 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \text{ (cm)}\] Diện tích tam giác OBD: \[S_{\Delta OBD} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}\] Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD: \[S_{vp} = S_q - S_{\Delta OBD} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}27 \text{ (cm}^2\text{)}\]