Chứng minh tổng hai góc trong tứ giác AEIF bằng 180°

Vì đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với cạnh AB tại E, cạnh AC tại F nên bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến: \[IE \perp AB,\quad IF \perp AC\] Do đó \(\widehat{AEI} = \widehat{IFA} = 90^o\). Xét tứ giác AEIF, tổng bốn góc bằng \(360^o\): \[\widehat{EAF} + \widehat{AEI} + \widehat{EIF} + \widehat{IFA} = 360^o\] Thay \(\widehat{AEI} = \widehat{IFA} = 90^o\): \[\widehat{EAF} + \widehat{EIF} + 90^o + 90^o = 360^o\] \[\widehat{EIF} + \widehat{EAF} = 180^o\] Vì E nằm trên AB và F nằm trên AC nên \(\widehat{EAF} = \widehat{BAC}\). Vậy \(\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180^o\). (đpcm)