Chứng minh tính đối xứng và hình chữ nhật trên đường tròn
Problem:
Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d, C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.
a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) hay không? Vì sao?
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.
a) Vì d đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn (O).
A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d, nên B cũng thuộc (O).
C là điểm đối xứng của A qua O, D là điểm đối xứng của B qua O. Vì O là tâm đối xứng của đường tròn (O) và A, B thuộc (O), nên C và D cũng thuộc (O).
b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC.
D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, và \(AC = BD = 2R\) (đều là đường kính của (O)).
Vậy ABCD là hình chữ nhật.
c) ABCD là hình chữ nhật nên \(AB \parallel CD\).
Mặt khác, B đối xứng A qua d nên \(AB \perp d\). Từ \(AB \parallel CD\) và \(AB \perp d\), suy ra \(d \perp CD\).
Xét tam giác OCD: \(OC = OD\) (cùng là bán kính của (O)) nên tam giác OCD cân tại O. Đường thẳng d đi qua O và vuông góc với CD, do đó d là đường trung trực của CD.
Vậy C và D đối xứng với nhau qua d.