Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình vuông và tính bán kính
Problem:
Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo.
a) Chứng minh rằng chỉ có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.
b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết hình vuông có cạnh bằng 3 cm.
a) Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vì E là trung điểm của AC nên EA = EC = \(\dfrac{AC}{2}\).
Vì E là trung điểm của BD nên EB = ED = \(\dfrac{BD}{2}\).
Vì AC = BD nên EA = EB = EC = ED.
Bốn điểm A, B, C, D cùng cách đều điểm E một khoảng bằng EA, do đó chúng cùng thuộc đường tròn tâm E bán kính EA. Đây là đường tròn duy nhất đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Đường tròn (E) có tâm E là tâm đối xứng. Hai trục đối xứng của đường tròn đó là AC và BD.
b) Xét tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lý Pythagore:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\]
\[\Rightarrow AC = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}\]
Bán kính đường tròn là:
\[EA = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ (cm)}\]