Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp hình vuông

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD. Tâm của cả hai đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đều là O. Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD: Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADB vuông tại A: \[ DB = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \text{ (cm)} \] Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ OD = \frac{DB}{2} = 2\sqrt{2} \text{ (cm)} \] Chu vi đường tròn ngoại tiếp: \[ C_1 = 2\pi \cdot OD = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\,\pi \text{ (cm)} \] Diện tích hình tròn ngoại tiếp: \[ S_1 = \pi \cdot OD^2 = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 = 8\pi \text{ (cm}^2\text{)} \] Đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD: Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tam giác OAB có OA = OB (đều là bán kính đường tròn ngoại tiếp) nên tam giác OAB cân tại O. Do đó OE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra \( OE \perp AB \). Chứng minh tương tự: \( OF \perp BC,\ OG \perp CD,\ OH \perp DA \). Tứ giác AEOH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Vì AO là tia phân giác của góc A trong hình vuông (góc 90°) nên AEOH là hình vuông, suy ra \( OE = AE \). Tương tự, \( OE = OF = OG = OH \), nên đường tròn tâm O bán kính OE nội tiếp hình vuông ABCD. Bán kính đường tròn nội tiếp: \[ OE = AE = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ (cm)} \] Chu vi đường tròn nội tiếp: \[ C_2 = 2\pi \cdot OE = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \text{ (cm)} \] Diện tích hình tròn nội tiếp: \[ S_2 = \pi \cdot OE^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ (cm}^2\text{)} \]