Chứng minh tiếp tuyến của hai đường tròn cắt nhau
Problem:
Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A. Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A'. Chứng minh rằng:
a) BA và BA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).
b) CA và CA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA).
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'BC\):
BA = BA' (cùng là bán kính của đường tròn (B; BA))
CA = CA' (cùng là bán kính của đường tròn (C; CA))
BC chung
Suy ra \(\Delta ABC = \Delta A'BC\) (c.c.c)
Do đó: \(\widehat{BA'C} = \widehat{BAC} = 90^\circ\) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(CA' \perp BA'\) tại A', nên BA' là tiếp tuyến của (C; CA).
Lại có \(CA \perp BA\) tại A (tam giác ABC vuông tại A), nên BA là tiếp tuyến của (C; CA).
Vậy BA và BA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).
b) Từ phần a) đã có:
\(CA' \perp BA'\) tại A', nên CA' là tiếp tuyến của (B; BA).
\(CA \perp BA\) tại A, nên CA là tiếp tuyến của (B; BA).
Vậy CA và CA' là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA).