Chứng minh tính chất tiếp tuyến cắt nhau và tam giác cân
Problem:
Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.
a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.
b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.
Tại E có hai tiếp tuyến EM và EA cắt nhau, nên: EM = EA.
Tại F có hai tiếp tuyến FM và FB cắt nhau, nên: FM = FB.
Chu vi tam giác SEF:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{C_{\Delta SEF} = SE + SF + EF}\\{= SE + SF + EM + MF}\\{= SE + EA + SF + BF}\\{= SA + SB}\end{array}\]
Vậy chu vi tam giác SEF bằng SA + SB. (đpcm)
b)
SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại S nên SO là phân giác của góc \(\widehat{ASB}\).
Suy ra: \(\widehat{OSA} = \widehat{OSB}\), hay \(\widehat{MSE} = \widehat{MSF}\).
Xét tam giác SME và tam giác SMF:
- \(\widehat{SME} = \widehat{SMF} = 90^\circ\) (vì EM là tiếp tuyến tại M nên OM ⊥ EF, tức SM ⊥ EF)
- SM chung
- \(\widehat{MSE} = \widehat{MSF}\) (chứng minh trên)
Do đó: \(\Delta SME = \Delta SMF\) (g.c.g)
Suy ra: SE = SF (hai cạnh tương ứng). (đpcm)