Tính AC và góc D trong hình thang ABCD
Problem:
Cho hình thang ABCD (AD // BC) có \(AD = 16\text{ cm},\ BC = 4\text{ cm},\ \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{ACD} = 90^\circ.\)
a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh \(\widehat{ADC} = \widehat{ACE}.\) Tính sin của các góc \(\widehat{ADC},\ \widehat{ACE}\) và suy ra \(AC^2 = AE \cdot AD.\) Từ đó tính AC.
b) Tính góc D của hình thang.
a) Xét tam giác CDE vuông tại E:
\[\widehat{DCE} + \widehat{CDE} = 90^\circ\]
Vì \(\widehat{ACD} = 90^\circ\) nên \(\widehat{DCE} + \widehat{ACE} = 90^\circ\).
Suy ra \(\widehat{ADC} = \widehat{ACE}\) (cùng phụ với góc DCE).
Trong tam giác ACD vuông tại C:
\[\sin\widehat{ADC} = \frac{AC}{AD}\]
Trong tam giác ACE vuông tại E:
\[\sin\widehat{ACE} = \frac{AE}{AC}\]
Vì \(\widehat{ADC} = \widehat{ACE}\) nên:
\[\frac{AC}{AD} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow AC^2 = AE \cdot AD\]
Vì \(\widehat{BAE} = \widehat{ABC} = \widehat{AEC} = 90^\circ\), tứ giác AECB là hình chữ nhật, nên \(AE = BC = 4\) cm.
Do đó:
\[AC^2 = AE \cdot AD = 4 \cdot 16 = 64\]
\[AC = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}\]
b) Từ kết quả trên:
\[\sin\widehat{ADC} = \frac{AC}{AD} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\]
Vì \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) nên \(\widehat{ADC} = 30^\circ\).
Vậy góc D của hình thang bằng \(30^\circ\).