Tính chu vi Trái Đất theo phương pháp Eratosthenes
Problem:
Đố vui. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes, một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng chu vi của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) dựa trên hai quan sát:
1. Hằng năm vào trưa ngày Hạ Chí (21/6), tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một giếng sâu ở thành phố Syene, tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.
2. Cũng vào trưa một ngày Hạ Chí, tại thành phố Alexandria cách Syene 800 km, Eratosthenes quan sát thấy một tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.
Từ hai quan sát trên, ông tính xấp xỉ chu vi Trái Đất như thế nào? Trên hình, O là tâm Trái Đất, S là vị trí thành phố Syene, A là vị trí thành phố Alexandria, H là đỉnh tháp, bóng của tháp trên mặt đất là đoạn thẳng AB.
H là đỉnh tháp, chân tháp tại A, AH = 25 m. Bóng tháp là đoạn AB, AB = 3,1 m.
Vì tia sáng mặt trời chiếu thẳng đứng tại Syene nên tia sáng song song với OS. Tia sáng qua đỉnh tháp H chiếu đến B, tức BH song song với OS.
Do BH ∥ OS và AH là đường thẳng cắt cả hai, theo tính chất góc so le trong:
\[\widehat{AHB} = \widehat{AOS}\]
Vì AH = 25 m rất nhỏ so với bán kính Trái Đất, Eratosthenes coi AB vuông góc với AH. Trong tam giác BAH vuông tại A:
\[\tan\widehat{AHB} = \frac{AB}{AH} = \frac{3{,}1}{25} = \frac{31}{250}\]
Suy ra \(\tan\widehat{AOS} = \frac{31}{250}\), dùng máy tính tính được:
\[\widehat{AOS} \approx 7^\circ 4'\]
Trên đường tròn tâm O, độ dài cung tỉ lệ thuận với góc ở tâm chắn cung đó. Cung SA tương ứng với góc \(\widehat{AOS} \approx 7^\circ 4'\) và bằng 800 km; toàn bộ đường tròn tương ứng với \(360^\circ\). Ta có:
\[\frac{C}{800} = \frac{360^\circ}{7^\circ 4'}\]
Suy ra:
\[C = \frac{360^\circ}{7^\circ 4'} \times 800 \approx 40\,755 \text{ (km)}\]
Vậy chu vi Trái Đất theo ước lượng của Eratosthenes xấp xỉ 40 755 km.