Tính góc AID và chứng minh IA·IB = IC·ID với hai dây cung cắt nhau
Problem:
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9).
a) Biết \(\widehat{AOC} = 60^o\), \(\widehat{BOD} = 80^o\). Tính số đo góc AID.
b) Chứng minh rằng \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\).
a) Biết \(\widehat{AOC} = 60^o\), \(\widehat{BOD} = 80^o\). Tính số đo góc AID.
b) Chứng minh rằng \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\).
a) Xét đường tròn tâm (O):
Góc IAC là góc nội tiếp chắn cung BC nên \(\widehat{IAC} = \dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset{\frown}{CB}\).
Góc ACI là góc nội tiếp chắn cung AD nên \(\widehat{ACI} = \dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset{\frown}{AD}\).
Góc DOB là góc ở tâm chắn cung DB nên \(\text{sđ}\overset{\frown}{DB} = \widehat{DOB} = 80^o\).
Góc AOC là góc ở tâm chắn cung AC nên \(\text{sđ}\overset{\frown}{AC} = \widehat{AOC} = 60^o\).
Tổng bốn cung trên đường tròn bằng 360°, nên:
\[\text{sđ}\overset{\frown}{CB} + \text{sđ}\overset{\frown}{AD} = 360^o - \text{sđ}\overset{\frown}{DB} - \text{sđ}\overset{\frown}{AC} = 360^o - 80^o - 60^o = 220^o\]
Do đó:
\[\widehat{IAC} + \widehat{ACI} = \frac{\text{sđ}\overset{\frown}{CB} + \text{sđ}\overset{\frown}{AD}}{2} = \frac{220^o}{2} = 110^o\]
Góc AID là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác AIC nên:
\[\widehat{AID} = \widehat{IAC} + \widehat{ACI} = 110^o\]
b) Hai góc nội tiếp IAD và ICB cùng chắn cung DB của đường tròn (O) nên:
\[\widehat{IAD} = \widehat{ICB}\]
Lại có \(\widehat{AID} = \widehat{CIB}\) (hai góc đối đỉnh).
Vậy \(\Delta IAD \backsim \Delta ICB\) (g-g).
Suy ra:
\[\frac{IA}{IC} = \frac{ID}{IB}\]
Từ đó: \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\) (đpcm).