Chứng minh phân tích nhân tử và áp dụng

Chứng minh: Ta có: \[a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - ax(x_1 + x_2) + ax_1x_2\] Vì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) nên theo định lí Viète: \[x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\] Thay vào biểu thức trên: \[ax^2 - ax \cdot \frac{-b}{a} + a \cdot \frac{c}{a} = ax^2 + bx + c\] Vậy \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\). (đpcm) a) Giải phương trình \(x^2 + 11x + 18 = 0\): \(\Delta = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 > 0\) \[x_1 = \frac{-11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-11 + 7}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-11 - 7}{2} = -9\] Do đó: \(x^2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9)\) b) Giải phương trình \(3x^2 + 5x - 2 = 0\): \(\Delta = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 > 0\) \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{6} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{6} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2\] Do đó: \(3x^2 + 5x - 2 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x + 2)\)