Tính chu vi, diện tích tam giác và bán kính đường tròn nội tiếp trong bài toán quy hoạch
Problem:
Người ta vẽ bản quy hoạch của một khu định cư được bao quanh bởi ba con đường thẳng tạo thành một tam giác với độ dài các cạnh là 900m, 1 200m và 1 500m (H.9.27).
a) Tính chu vi và diện tích của phần đất giới hạn bởi tam giác trên.
b) Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Khi đó khách sạn cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?
a) Kiểm tra:
\[ 900^2 + 1200^2 = 810\,000 + 1\,440\,000 = 2\,250\,000 = 1500^2 \]
Vậy tam giác này là tam giác vuông (hai cạnh góc vuông là 900m và 1 200m, cạnh huyền là 1 500m).
Chu vi phần đất:
\[ C = 900 + 1200 + 1500 = 3600 \, (m) \]
Diện tích phần đất:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1200 = 540\,000 \, (m^2) \]
b) Điểm cách đều ba con đường là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Gọi tam giác giới hạn phần đất là ABC, trong đó \(AB = 900\,m,\; AC = 1200\,m,\; BC = 1500\,m\). Tam giác ABC vuông tại A.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kẻ \(ID \perp AB\) tại D, \(IE \perp AC\) tại E, \(IF \perp BC\) tại F. Khi đó \(ID = IE = IF = r\).
Xét tứ giác ADIE: \(\widehat{DAE} = 90^\circ\) (góc A của tam giác vuông), \(\widehat{IDA} = 90^\circ\), \(\widehat{IEA} = 90^\circ\). Ba góc vuông nên ADIE là hình chữ nhật. Mà \(ID = IE\) nên ADIE là hình vuông.
Suy ra: \(AD = AE = ID = IE = r\).
Ta có:
\[ BD = AB - AD = 900 - r, \quad CE = AC - AE = 1200 - r \]
Theo tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn:
\[ BF = BD = 900 - r, \quad CF = CE = 1200 - r \]
Vì \(BF + CF = BC = 1500\):
\[ (900 - r) + (1200 - r) = 1500 \]
\[ 2100 - 2r = 1500 \]
\[ 2r = 600 \]
\[ r = 300 \]
Vậy khách sạn cách mỗi con đường 300m.