Gọi N = \(\overline{ab}\) với \(0 < a \le 9,\ 0 \le b \le 9,\ a, b \in \mathbb{N}\).
Khi đó \(N = 10a + b\).
Viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của N được số \(\overline{a3b} = 100a + 30 + b\).
Theo điều kiện thứ nhất, số mới lớn hơn 2N là 585 đơn vị:
\[\overline{a3b} - 2N = 585\]
\[100a + 30 + b - 2(10a + b) = 585\]
\[100a + 30 + b - 20a - 2b = 585\]
\[80a - b = 555 \quad (1)\]
Viết hai chữ số của N theo thứ tự ngược lại được số \(\overline{ba} = 10b + a\).
Theo điều kiện thứ hai, số đảo nhỏ hơn N là 18 đơn vị:
\[N - \overline{ba} = 18\]
\[10a + b - (10b + a) = 18\]
\[9a - 9b = 18\]
\[a - b = 2 \quad (2)\]
Ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases}80a - b = 555\\a - b = 2\end{cases}\]
Trừ phương trình (2) khỏi phương trình (1) vế theo vế:
\[(80a - b) - (a - b) = 555 - 2\]
\[79a = 553\]
\[a = 7 \quad (\text{thỏa mãn } 0 < a \le 9)\]
Thay \(a = 7\) vào phương trình (2):
\[7 - b = 2 \Rightarrow b = 5 \quad (\text{thỏa mãn } 0 \le b \le 9)\]
Vậy N = 75.
