Điểm đối xứng qua tâm và hình quạt tròn từ hình vuông nội tiếp
Problem:
Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4 cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.
a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?
b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.
a) A thuộc (O) và C là điểm đối xứng của A qua O, nên O là trung điểm của AC, suy ra OC = OA = 4 cm. Do đó C thuộc (O).
Tương tự, B thuộc (O) và D là điểm đối xứng của B qua O, nên OD = OB = 4 cm. Do đó D thuộc (O).
Vậy cả C và D đều nằm trên đường tròn (O).
b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau tại O.
Do đó \(\widehat{AOB} = 90°\), suy ra số đo cung nhỏ AB là \(90°\).
Số đo cung lớn AB là: \(360° - 90° = 270°\).
Độ dài cung lớn AB là:
\[l = \frac{270}{180} \cdot \pi \cdot 4 = 6\pi \text{ (cm)}\]
Diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB (ứng với góc \(90°\)) là:
\[S = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi \text{ (cm}^2\text{)}\]