Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm đồng thời là trực tâm của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng AO với BC. Khi đó AH là đường cao, đường trung tuyến và đường trung trực của tam giác đều ABC. Từ công thức bán kính ngoại tiếp tam giác đều: \(OA = \dfrac{BC\sqrt{3}}{3}\) Suy ra: \(BC = \sqrt{3} \cdot OA = \sqrt{3} \cdot 3 = 3\sqrt{3} \text{ (cm)}\) Vì O là trọng tâm nên \(OA = \dfrac{2}{3}AH\), do đó: \[AH = \dfrac{3}{2} \cdot OA = \dfrac{3}{2} \cdot 3 = \dfrac{9}{2} \text{ (cm)}\] Diện tích tam giác ABC: \[S = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \dfrac{27\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)}\]