Tính bán kính và diện tích hình viên phân của tam giác đều nội tiếp đường tròn

a) Bán kính R của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC là: \[ R = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3 = \sqrt{3} \text{ (cm)} \] b) Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat{BAC} = 60^\circ\). \(\widehat{BOC}\) là góc ở tâm chắn cung BC, \(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC, nên: \[ \widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \] Diện tích hình quạt tròn BOC: \[ S_1 = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{3} \cdot 3\pi = \pi \text{ (cm}^2\text{)} \] Vì tam giác ABC đều nên tâm O đồng thời là trọng tâm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (AH cũng là đường trung tuyến). Đường cao của tam giác đều cạnh 3 cm: \[ AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ (cm)} \] Vì O là trọng tâm, O cách BC một đoạn: \[ OH = \frac{AH}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (cm)} \] Diện tích tam giác BOC: \[ S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)} \] Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC: \[ S_{\text{viên phân}} = S_1 - S_{BOC} = \pi - \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ (cm}^2\text{)} \]