Chứng minh MBNPDQ là lục giác đều

Vì ABCD là hình thoi nên \(AB = BC = CD = AD\). Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên: \[MB = BN = NC = PC = PD = DQ = \frac{AB}{2} \quad (1)\] Xét tam giác ABD: có \(AB = AD\) (cạnh hình thoi) nên tam giác ABD cân tại A. Mà \(\widehat{A} = 60^\circ\) nên tam giác ABD đều, suy ra \(BD = AB\). Vì M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó: \[MQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB \quad (2)\] Vì N, P lần lượt là trung điểm của BC và CD nên NP là đường trung bình của tam giác CBD. Do đó: \[NP = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AB \quad (3)\] Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[MB = BN = NP = PD = DQ = QM = \frac{AB}{2} \quad (*)\] Vì ABCD là hình thoi nên \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC}\) và \(\widehat{C} = \widehat{A} = 60^\circ\). Tổng bốn góc của tứ giác bằng \(360^\circ\): \[\widehat{ABC} + \widehat{ADC} + 60^\circ + 60^\circ = 360^\circ \Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 120^\circ\] Xét tam giác NPC: có \(NC = PC\) và \(\widehat{C} = 60^\circ\) nên tam giác NPC cân tại C với góc đỉnh \(60^\circ\), suy ra tam giác NPC đều. Do đó \(\widehat{CNP} = 60^\circ\). Vì \(\widehat{BNP}\) và \(\widehat{PNC}\) là hai góc kề bù: \[\widehat{BNP} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] Chứng minh tương tự với các tam giác tại đỉnh M và Q, ta cũng có: \[\widehat{NPD} = \widehat{DQM} = \widehat{QMB} = 120^\circ\] Do đó: \[\widehat{MBN} = \widehat{BNP} = \widehat{NPD} = \widehat{PDQ} = \widehat{DQM} = \widehat{QMB} = 120^\circ \quad (**)\] Từ (*) và (**), lục giác MBNPDQ có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau nên MBNPDQ là lục giác đều.