Tính thể tích và diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều (mô hình Louvre)
Problem:
Người ta làm mô hình kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao 21 m, độ dài cạnh đáy là 34 m.
a) Tính thể tích hình chóp.
b) Tính tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên của hình chóp, biết độ dài cạnh bên của hình chóp là 31,92 m.
a) Diện tích đáy hình chóp (hình vuông cạnh 34 m):
\[ S_{\text{đáy}} = 34^2 = 1156 \text{ (m}^2\text{)} \]
Thể tích hình chóp tứ giác đều:
\[ V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 1156 \cdot 21 = 8092 \text{ (m}^3\text{)} \]
b) Gọi I là trung điểm của một cạnh đáy, S là đỉnh hình chóp, C là đỉnh của cạnh đáy gần I nhất.
Khi đó:
\[ CI = \dfrac{34}{2} = 17 \text{ (m)} \]
Tam giác SCI vuông tại I. Áp dụng định lí Pythagore:
\[ CI^2 + SI^2 = SC^2 \]
\[ 17^2 + SI^2 = 31{,}92^2 \]
\[ 289 + SI^2 = 1018{,}89 \]
\[ SI^2 = 729{,}89 \]
\[ SI \approx 27{,}02 \text{ (m)} \]
Đây là apothem (đường cao của mặt bên) của hình chóp.
Chu vi đáy:
\[ p = 4 \times 34 = 136 \text{ (m)} \]
Tổng diện tích bốn mặt bên (tổng diện tích kính cần dùng):
\[ S_{xq} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot SI = \dfrac{1}{2} \cdot 136 \cdot 27{,}02 \approx 1837{,}36 \text{ (m}^2\text{)} \]