Chứng minh hình thang cân và chu vi tam giác PQR trong tam giác đều ABC
Problem:
Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.
a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài \(MA + MB + MC\).
c) M ở vị trí nào thì tam giác PQR là tam giác đều?
a) Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat{BAC} = \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 60°\).
Vì PM // BC nên \(\widehat{APM} = \widehat{ABC} = 60°\) (hai góc đồng vị).
Suy ra \(\widehat{BAC} = \widehat{APM}\).
Vì MR // AB nên MR // AP, do đó tứ giác APMR là hình thang (MR và AP là hai đáy).
Hình thang APMR có \(\widehat{BAC} = \widehat{APM}\) (hai góc kề đáy AP bằng nhau) nên APMR là hình thang cân. (đpcm)
b) Vì APMR là hình thang cân nên \(AM = PR\) (hai đường chéo bằng nhau). (1)
Vì MQ // AC nên \(\widehat{BQM} = \widehat{ACB} = 60°\) (hai góc đồng vị).
Suy ra \(\widehat{ABC} = \widehat{BQM}\).
Vì PM // BQ nên tứ giác BPMQ là hình thang. Hình thang BPMQ có \(\widehat{ABC} = \widehat{BQM}\) nên BPMQ là hình thang cân.
Suy ra \(BM = PQ\). (2)
Tương tự, vì QM // RC nên tứ giác QMRC là hình thang. Hình thang QMRC có \(\widehat{MRC} = \widehat{RCQ}\) (cùng bằng 60°) nên QMRC là hình thang cân.
Suy ra \(MC = QR\). (3)
Cộng (1), (2), (3) lại:
\[PR + PQ + QR = MA + MB + MC\]
Vậy chu vi tam giác PQR bằng \(MA + MB + MC\). (đpcm)
c) Vì chu vi tam giác PQR \(= PR + PQ + QR = MA + MB + MC\).
Tam giác PQR đều khi và chỉ khi \(PQ = QR = PR\), suy ra \(MA = MB = MC\).
Khi đó M cách đều ba đỉnh A, B, C, tức là M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp).
Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC thì tam giác PQR là tam giác đều.