Vì ΔA'B'C' ∽ ΔABC nên:
\[\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} \quad (*)\]
Bước 1: Chứng minh \(\dfrac{A'M'}{AM} = \dfrac{A'B'}{AB}\)
Do M là trung điểm BC và M' là trung điểm B'C' nên:
\[BM = \frac{BC}{2}, \quad B'M' = \frac{B'C'}{2}\]
Từ (*): \(\dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'B'}{AB}\), suy ra \(\dfrac{B'M'}{BM} = \dfrac{A'B'}{AB}\).
Mà ∠A'B'M' = ∠ABM (góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng), nên ΔA'M'B' ∽ ΔAMB (c.g.c).
Suy ra: \(\dfrac{A'M'}{AM} = \dfrac{A'B'}{AB} \quad (1)\)
Bước 2: Chứng minh \(\dfrac{B'N'}{BN} = \dfrac{A'B'}{AB}\)
Do N là trung điểm AC và N' là trung điểm A'C' nên:
\[AN = \frac{AC}{2}, \quad A'N' = \frac{A'C'}{2}\]
Từ (*): \(\dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{A'B'}{AB}\), suy ra \(\dfrac{A'N'}{AN} = \dfrac{A'B'}{AB}\).
Mà ∠B'A'N' = ∠BAN (góc tương ứng), nên ΔA'B'N' ∽ ΔABN (c.g.c).
Suy ra: \(\dfrac{B'N'}{BN} = \dfrac{A'B'}{AB} \quad (2)\)
Từ (1) và (2): \(\dfrac{A'M'}{AM} = \dfrac{B'N'}{BN} \quad (3)\)
Bước 3: Chứng minh \(\dfrac{C'P'}{CP} = \dfrac{A'C'}{AC}\)
Do P là trung điểm AB và P' là trung điểm A'B' nên:
\[AP = \frac{AB}{2}, \quad A'P' = \frac{A'B'}{2}\]
Từ (*): \(\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC}\), suy ra \(\dfrac{A'P'}{AP} = \dfrac{A'C'}{AC}\).
Mà ∠C'A'P' = ∠CAP (góc tương ứng), nên ΔA'C'P' ∽ ΔACP (c.g.c).
Suy ra: \(\dfrac{C'P'}{CP} = \dfrac{A'C'}{AC} \quad (4)\)
Bước 4: Chứng minh \(\dfrac{A'M'}{AM} = \dfrac{A'C'}{AC}\)
Do M là trung điểm BC và M' là trung điểm B'C' nên:
\[\frac{B'M'}{BM} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} \text{ (từ (*))}\]
Kết hợp \(\dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{B'M'}{BM}\) và ∠A'C'M' = ∠ACM (góc tương ứng), suy ra ΔA'M'C' ∽ ΔAMC (c.g.c).
Suy ra: \(\dfrac{A'M'}{AM} = \dfrac{A'C'}{AC} \quad (5)\)
Từ (4) và (5): \(\dfrac{C'P'}{CP} = \dfrac{A'M'}{AM} \quad (6)\)
Từ (3) và (6):
\[\boxed{\dfrac{A'M'}{AM} = \dfrac{B'N'}{BN} = \dfrac{C'P'}{CP}}\]
