Chứng minh hình bình hành và trung điểm trùng nhau trong hình ABCD
Problem:
Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD và ABFC đều là hình bình hành.
b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.
B là trung điểm của AE nên AE = 2AB, suy ra BE = AB.
C là trung điểm của DF nên DF = 2CD, suy ra CF = CD.
Do đó AE = DF (vì AE = 2AB = 2CD = DF) và AE // DF (vì AB // CD).
Tứ giác AEFD có AE // DF và AE = DF, nên AEFD là hình bình hành.
Mặt khác AB = CF (vì AB = CD = CF) và AB // CF (vì AB // CD).
Tứ giác ABFC có AB // CF và AB = CF, nên ABFC là hình bình hành.
Vậy hai tứ giác AEFD và ABFC đều là hình bình hành.
b) Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AF và DE trong hình bình hành AEFD.
Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên M là trung điểm của AF và M là trung điểm của DE.
Xét hình bình hành ABFC: hai đường chéo là AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
M đã là trung điểm của AF, nên M cũng là trung điểm của BC.
Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC đều trùng với M.