Chứng minh tam giác đồng dạng và tích đoạn thẳng qua giao điểm
Problem:
Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho \(\widehat{ABN} = \widehat{ACM}\).
a) Chứng minh rằng ΔABN ∽ ΔACM.
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB·IN = IC·IM.
a) Xét ΔABN và ΔACM:
- Góc A chung.
- \(\widehat{ABN} = \widehat{ACM}\) (đề bài cho).
Vậy ΔABN ∽ ΔACM (g.g).
b) Vì ΔABN ∽ ΔACM nên \(\widehat{ANB} = \widehat{AMC}\).
Do ANB và CNB là hai góc kề bù:
\[\widehat{ANB} + \widehat{CNB} = 180°\]
Do AMC và BMC là hai góc kề bù:
\[\widehat{AMC} + \widehat{BMC} = 180°\]
Vì \(\widehat{ANB} = \widehat{AMC}\) nên suy ra \(\widehat{CNB} = \widehat{BMC}\).
Xét ΔIBM và ΔICN:
- \(\widehat{IBM} = \widehat{ICN}\) (hai góc đối đỉnh).
- \(\widehat{BMC} = \widehat{CNB}\) (chứng minh trên).
Vậy ΔIBM ∽ ΔICN (g.g).
Suy ra:
\[\frac{IB}{IC} = \frac{IM}{IN}\]
Nhân chéo hai vế:
\[IB \cdot IN = IC \cdot IM\]