1. Trong tam giác AIB, vì I là giao điểm ba đường phân giác nên \( \widehat{IAB} = \dfrac{\widehat{A}}{2} \) và \( \widehat{IBA} = \dfrac{\widehat{B}}{2} \).
Tổng ba góc trong tam giác AIB:
\[ \widehat{AIB} = 180^{\circ} - \frac{\widehat{A}}{2} - \frac{\widehat{B}}{2} = 180^{\circ} - \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2} \]
Tương tự: \( \widehat{A'I'B'} = 180^{\circ} - \dfrac{\widehat{A'}+\widehat{B'}}{2} \)
Vì \( \widehat{A'I'B'} = \widehat{AIB} \) nên:
\[ \frac{\widehat{A'}+\widehat{B'}}{2} = \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2} \Rightarrow \widehat{A'}+\widehat{B'} = \widehat{A}+\widehat{B} \]
Suy ra: \( \widehat{C'} = 180^{\circ} - \widehat{A'} - \widehat{B'} = 180^{\circ} - \widehat{A} - \widehat{B} = \widehat{C} \)
Tương tự, từ \( \widehat{A'I'C'} = \widehat{AIC} \) suy ra \( \widehat{B'} = \widehat{B} \).
Vậy \( \Delta A'B'C' \) và \( \Delta ABC \) có \( \widehat{B'} = \widehat{B} \), \( \widehat{C'} = \widehat{C} \). Do đó \( \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC \) (g.g).
2. Lấy điểm M trên tia BC sao cho \( \Delta ABM \backsim \Delta A'B'C' \). Khi đó \( \dfrac{A'C'}{AM} = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BM} \).
Do \( \Delta A'B'C' \) có \( \dfrac{A'C'}{AM} = \dfrac{A'C'}{AC} \) nên AM = AC, tức tam giác AMC cân tại A, suy ra \( \widehat{ACM} = \widehat{AMC} \).
Giả sử C không trùng M:
+) Nếu M nằm giữa B và C: \( \widehat{AMB} = 180^{\circ} - \widehat{AMC} = 180^{\circ} - \widehat{ACM} > 90^{\circ} \), trong khi \( \widehat{AMB} = \widehat{A'C'B'} = \widehat{C'} \) nhọn — mâu thuẫn.
+) Nếu C nằm giữa B và M: \( \widehat{ACB} = 180^{\circ} - \widehat{ACM} = 180^{\circ} - \widehat{AMC} = 180^{\circ} - \widehat{C} > 90^{\circ} \), nghĩa là góc C tù — mâu thuẫn với giả thiết góc C nhọn.
Cả hai trường hợp đều vô lý, vậy C phải trùng với M và \( \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC \).
