Vì P là trung điểm AB và N là trung điểm AC nên theo định lý đường trung bình của tam giác, NP // BC.
Vì NP // BC nên góc APN = góc ABC và góc ANP = góc ACB (hai góc đồng vị).
Do đó △APN ∽ △ABC (g.g).
Vì P là trung điểm AB và M là trung điểm BC nên MP // AC.
Vì MP // AC nên góc PBM = góc ABC và góc BPM = góc BAC (hai góc đồng vị).
Do đó △PBM ∽ △ABC (g.g).
Vì N là trung điểm AC và M là trung điểm BC nên MN // AB.
Vì MN // AB nên góc NMC = góc ABC và góc MNC = góc BAC (hai góc đồng vị).
Do đó △NMC ∽ △ABC (g.g).
Từ ba kết quả trên, dùng tính chất bắc cầu:
Vì △APN ∽ △ABC và △PBM ∽ △ABC nên △APN ∽ △PBM.
Vì △NMC ∽ △ABC và △PBM ∽ △ABC nên △NMC ∽ △PBM.
Vì △APN ∽ △PBM và △NMC ∽ △PBM nên △APN ∽ △NMC.
Vậy năm tam giác đôi một đồng dạng là: △ABC, △APN, △PBM, △NMC và △MNP (tam giác ở giữa do ba đường trung bình tạo thành cũng đồng dạng với △ABC theo lập luận tương tự).
