Chứng minh hai tam giác cân đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng

Vì ΔABC cân tại A nên: \[\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180^o - \widehat{BAC}}{2} \quad (1)\] Vì ΔMNP cân tại M nên: \[\widehat{MNP} = \frac{180^o - \widehat{PMN}}{2} \quad (2)\] Vì \(\widehat{BAC} = \widehat{PMN}\) nên từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC} = \widehat{MNP}\). Lấy B', C' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó B'C' là đường trung bình của ΔABC nên B'C' // BC. Do B'C' // BC nên \(\widehat{AB'C'} = \widehat{ABC}\) (hai góc đồng vị). Xét ΔMNP và ΔAB'C' có: - \(\widehat{NMP} = \widehat{BAC}\) (giả thiết) - \(AB' = \frac{AB}{2} = MN\) (giả thiết \(AB = 2MN\)) - \(\widehat{MNP} = \widehat{ABC} = \widehat{AB'C'}\) (đã chứng minh) Vậy ΔMNP = ΔAB'C' (g.c.g). Mặt khác, vì B'C' // BC nên ΔAB'C' ∽ ΔABC. Do đó ΔMNP ∽ ΔABC với tỉ số đồng dạng: \[k = \frac{AB'}{AB} = \frac{1}{2}\]