Chứng minh EFGH là hình chữ nhật trong hình bình hành ABCD

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, hay AM // DN. Suy ra \(\widehat{M_1} = \widehat{D_2}\) (hai góc so le trong). Mà \(\widehat{D_1} = \widehat{D_2}\) vì DM là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\). Do đó \(\widehat{M_1} = \widehat{D_1}\), suy ra tam giác ADM cân tại A. Chứng minh tương tự, tam giác BCN cân tại C. Vì ABCD là hình bình hành nên \(\widehat{ADC} = \widehat{ABC}\). Mà BN, DM lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ADC}\), nên: \[\widehat{B_1} = \widehat{B_2} = \widehat{D_1} = \widehat{D_2}\] Từ \(\widehat{B_1} = \widehat{D_2}\) và \(\widehat{M_1} = \widehat{N_2}\) suy ra \(\widehat{M_2} = \widehat{N_1}\). Tứ giác BMDN có \(\widehat{B_1} = \widehat{D_2}\) và \(\widehat{M_2} = \widehat{N_1}\) nên BMDN là hình bình hành. Suy ra DM // BN, hay HE // GF. Tam giác ADM cân tại A có AH là tia phân giác của góc A, nên AH cũng là đường cao của tam giác. Suy ra \(\widehat{AHE} = 90°\), tức là \(\widehat{EHG} = 90°\). Vì HE // GF nên \(\widehat{AGF} = 90°\) (hai góc đồng vị). Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat{HEF} = 90°\) và \(\widehat{GFE} = 90°\). Tứ giác EFGH có cả bốn góc đều bằng \(90°\), do đó EFGH là hình chữ nhật.