Phân tích đa thức thành nhân tử dùng nhóm hạng tử và hằng đẳng thức

a) \(x^3 + y^3 + x + y\) \(= (x + y)(x^2 - xy + y^2) + (x + y)\) \(= (x + y)(x^2 - xy + y^2 + 1)\) b) \(x^3 - y^3 + x - y\) \(= (x - y)(x^2 + xy + y^2) + (x - y)\) \(= (x - y)(x^2 + xy + y^2 + 1)\) c) \((x - y)^3 + (x + y)^3\) Đặt \(a = x - y\), \(b = x + y\). Áp dụng \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\): \(a + b = (x - y) + (x + y) = 2x\) \(a^2 - ab + b^2 = (x-y)^2 - (x-y)(x+y) + (x+y)^2\) \(= (x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 - y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)\) \(= x^2 - 2xy + y^2 - x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2\) \(= x^2 + 3y^2\) Vậy: \((x - y)^3 + (x + y)^3 = 2x(x^2 + 3y^2)\) d) \(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + y^2 - x^2\) \(= (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + (y^2 - x^2)\) \(= (x - y)^3 + (y - x)(y + x)\) \(= (x - y)^3 - (x - y)(x + y)\) \(= (x - y)\left[(x - y)^2 - (x + y)\right]\) \(= (x - y)(x^2 - 2xy + y^2 - x - y)\)