Tìm giao điểm và chứng minh hai đường thẳng vuông góc

a) Xét đường thẳng y = x: Cho x = 0 thì y = 0, được điểm O(0; 0). Cho x = 1 thì y = 1, được điểm (1; 1). Đường thẳng y = x đi qua O(0; 0) và (1; 1). Xét đường thẳng y = −x + 2: Cho x = 0 thì y = 2, được điểm (0; 2). Cho x = 2 thì y = 0, được điểm (2; 0). Đường thẳng y = −x + 2 đi qua (0; 2) và (2; 0). b) Gọi A(x₀; y₀) là giao điểm của hai đường thẳng. Vì A thuộc cả hai đường thẳng: \[ y_0 = x_0 \quad \text{và} \quad y_0 = -x_0 + 2 \] Suy ra: \( x_0 = -x_0 + 2 \Rightarrow 2x_0 = 2 \Rightarrow x_0 = 1 \), do đó \( y_0 = 1 \). Vậy A(1; 1). c) Giao điểm B của đường thẳng y = −x + 2 với trục Ox: cho y = 0 thì x = 2, nên B(2; 0). Tính các độ dài: \[ OA = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \] \[ AB = \sqrt{(2-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \] \[ OB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2 \] Kiểm tra: \[ OA^2 + AB^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4 = OB^2 \] Theo định lí Pythagore đảo, tam giác OAB vuông tại A. Vậy hai đường thẳng y = x và y = −x + 2 vuông góc với nhau. d) Đường thẳng y = x có hệ số góc bằng 1. Đường thẳng y = −x + 2 có hệ số góc bằng −1. Tích hai hệ số góc: \( 1 \times (-1) = -1 \). Nhận xét: tích hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng −1.