Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số diện tích liên quan đến đường phân giác

a) AD là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC. Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: \[\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}\] Suy ra \(\dfrac{DB}{3} = \dfrac{DC}{4}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \[\dfrac{DB}{3} = \dfrac{DC}{4} = \dfrac{DB + DC}{3 + 4} = \dfrac{BC}{7} = \dfrac{25}{7}\] Do đó: \[DB = \dfrac{25 \cdot 3}{7} = \dfrac{75}{7} \text{ (cm)}\] \[DC = \dfrac{25 \cdot 4}{7} = \dfrac{100}{7} \text{ (cm)}\] Vậy \(DB = \dfrac{75}{7}\) cm và \(DC = \dfrac{100}{7}\) cm. b) Hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Ta có: \[S_{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot DB; \quad S_{ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot DC\] Suy ra: \[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot DB}{\dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot DC} = \dfrac{DB}{DC} = \dfrac{3}{4}\] Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD bằng \(\dfrac{3}{4}\).