Chứng minh tỉ số và đồng dạng trong tam giác vuông có phân giác

a) Vì AD là phân giác của góc BAC nên theo tính chất đường phân giác: \[\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow DB \cdot AC = DC \cdot AB \quad (*)\] Khai triển: \[BD \cdot (AB + AC) = BD \cdot AB + BD \cdot AC\] \[= DB \cdot AB + DC \cdot AB \quad (\text{thay } BD \cdot AC = DC \cdot AB)\] \[= AB \cdot (DB + DC) = AB \cdot BC\] Do đó: \[BD \cdot (AB + AC) = AB \cdot BC \Rightarrow \frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AB + AC} \quad (1)\] Xét \(\Delta CED\) và \(\Delta CAB\) có: - \(\widehat{C}\) chung - \(\widehat{DEA} = \widehat{BAC} = 90°\) Nên \(\Delta CED \backsim \Delta CAB\) (g.g), suy ra: \[\frac{CE}{CA} = \frac{CD}{CB}\] \[\frac{AC - AE}{AC} = \frac{BC - BD}{BC}\] \[1 - \frac{AE}{AC} = 1 - \frac{BD}{BC}\] \[\frac{AE}{AC} = \frac{BD}{BC} \quad (2)\] Từ (1) và (2): \[\frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AB + AC} \Rightarrow AE = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC}\] b) Xét \(\Delta DFC\) và \(\Delta ABC\) có: - \(\widehat{FDC} = \widehat{BAC} = 90°\) - \(\widehat{C}\) chung Nên \(\Delta DFC \backsim \Delta ABC\) (g.g). c) Từ \(\Delta DFC \backsim \Delta ABC\) suy ra: \[\frac{DF}{AB} = \frac{DC}{AC} \Rightarrow DF = \frac{AB \cdot DC}{AC} \quad (3)\] Từ (*) ở phần a): \[DB \cdot AC = DC \cdot AB \Rightarrow DB = \frac{DC \cdot AB}{AC} \quad (4)\] Từ (3) và (4): \(DF = DB\).