Rút gọn biểu thức dùng hằng đẳng thức lập phương

a) \(\left( {x - 2} \right)^3 + \left( {x + 2} \right)^3 - 6x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\) Áp dụng hằng đẳng thức \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)\) với \(A = x-2\), \(B = x+2\): \(= \left( {x - 2 + x + 2} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)^2 - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right)^2} \right] - 6x\left( {x^2 - 4} \right)\) Tính từng phần trong ngoặc vuông: \(\left(x-2\right)^2 = x^2 - 4x + 4\) \(-\left(x-2\right)\left(x+2\right) = -\left(x^2 - 4\right) = -x^2 + 4\) \(\left(x+2\right)^2 = x^2 + 4x + 4\) Cộng lại: \(x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 12\) \(= 2x\left( {x^2 + 12} \right) - \left( {6x^3 - 24x} \right)\) \(= 2x^3 + 24x - 6x^3 + 24x\) \(= -4x^3 + 48x\) b) \(\left( {2x - y} \right)^3 + \left( {2x + y} \right)^3\) Áp dụng hằng đẳng thức \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)\) với \(A = 2x-y\), \(B = 2x+y\): \(= \left( {2x - y + 2x + y} \right)\left[ {\left( {2x - y} \right)^2 - \left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) + \left( {2x + y} \right)^2} \right]\) Tính từng phần trong ngoặc vuông: \(\left(2x-y\right)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2\) \(-\left(2x-y\right)\left(2x+y\right) = -\left(4x^2 - y^2\right) = -4x^2 + y^2\) \(\left(2x+y\right)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2\) Cộng lại: \(4x^2 - 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 + 4x^2 + 4xy + y^2 = 4x^2 + 3y^2\) \(= 4x \cdot \left( {4x^2 + 3y^2} \right)\) \(= 16x^3 + 12xy^2\)