Chứng minh đường thẳng IJ là đường trung trực của AB trong hình thang cân
Problem:
Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vì ABCD là hình thang cân nên:
\(\widehat{BAD} = \widehat{ABC};\quad \widehat{ADC} = \widehat{BCD};\quad AD = BC;\quad AC = BD\)
Vì \(\widehat{ADC} = \widehat{BCD}\) nên tam giác ICD cân tại I, do đó IC = ID.
Xét ∆ABD và ∆BAC có:
- AB chung
- AD = BC (tính chất hình thang cân)
- BD = AC (tính chất hình thang cân)
Suy ra ∆ABD = ∆BAC (c.c.c), do đó \(\widehat{ADB} = \widehat{BCA}\).
Vì \(\widehat{ADC} = \widehat{BCD}\) và \(\widehat{ADB} = \widehat{BCA}\) nên \(\widehat{JDC} = \widehat{JCD}\).
Tam giác JCD cân tại J nên JD = JC.
Xét ∆IJD và ∆IJC có:
- IC = ID (chứng minh trên)
- \(\widehat{ID\,J} = \widehat{IC\,J}\) (vì \(\widehat{ADB} = \widehat{BCA}\))
- JD = JC (chứng minh trên)
Do đó ∆IJD = ∆IJC (c.g.c), suy ra \(\widehat{DIJ} = \widehat{CIJ}\) (hai góc tương ứng).
Ta có ID = IC và AD = BC.
Mà ID = IA + AD; IC = IB + BC nên IA = IB.
Tam giác IAB cân tại I có IO là tia phân giác \(\widehat{AIB}\) (vì \(\widehat{DIJ} = \widehat{CIJ}\) chính là tia IJ phân giác góc tạo bởi IA, IB).
Suy ra IO là đường trung trực của AB.
Vậy đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.