Chứng minh đẳng thức nhân đa thức

Khai triển vế trái: \[\begin{array}{l}\left( {2x + y} \right)\left( {2{x^2} + xy - {y^2}} \right)\\ = 2x \cdot 2{x^2} + 2x \cdot xy - 2x \cdot {y^2} + y \cdot 2{x^2} + y \cdot xy - y \cdot {y^2}\\ = 4{x^3} + 2{x^2}y - 2x{y^2} + 2{x^2}y + x{y^2} - {y^3}\\ = 4{x^3} + \left( {2{x^2}y + 2{x^2}y} \right) + \left( { - 2x{y^2} + x{y^2}} \right) - {y^3}\\ = 4{x^3} + 4{x^2}y - x{y^2} - {y^3}\end{array}\] Khai triển vế phải: \[\begin{array}{l}\left( {2x - y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + {y^2}} \right)\\ = 2x \cdot 2{x^2} + 2x \cdot 3xy + 2x \cdot {y^2} - y \cdot 2{x^2} - y \cdot 3xy - y \cdot {y^2}\\ = 4{x^3} + 6{x^2}y + 2x{y^2} - 2{x^2}y - 3x{y^2} - {y^3}\\ = 4{x^3} + \left( {6{x^2}y - 2{x^2}y} \right) + \left( {2x{y^2} - 3x{y^2}} \right) - {y^3}\\ = 4{x^3} + 4{x^2}y - x{y^2} - {y^3}\end{array}\] Cả hai vế đều bằng \(4x^3 + 4x^2y - xy^2 - y^3\), do đó: \[\left( {2x + y} \right)\left( {2{x^2} + xy - {y^2}} \right) = \left( {2x - y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + {y^2}} \right)\]