Chứng minh đồng dạng và tính diện tích hình chữ nhật
Problem:
Cho hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' thỏa mãn AC = 3AB, B'D' = 3A'B'.
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'.
b) Nếu A'B' = 2AB và diện tích hình chữ nhật ABCD là 2m² thì diện tích hình chữ nhật A'B'C'D' bằng bao nhiêu?
a) Từ AC = 3AB suy ra \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{3}\).
Từ B'D' = 3A'B' suy ra \(\dfrac{A'B'}{B'D'} = \dfrac{1}{3}\).
Do đó \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{B'D'}\).
Xét tam giác vuông ABC (vuông tại B) và tam giác vuông B'A'D' (vuông tại A'), có:
\[\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{B'D'}\]
\[\widehat{BAC} = \widehat{B'A'D'}\]
nên ΔABC ∽ ΔA'B'D' (c-g-c) (1)
Xét ΔB'A'D' và ΔA'B'C' có:
- A'B' là cạnh chung
- A'B' = C'D' (hình chữ nhật A'B'C'D')
- B'D' = A'C' (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau)
nên ΔB'A'D' = ΔA'B'C' (c-c-c) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔABC ∽ ΔA'B'C'.
b) Vì A'B' = 2AB nên \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{1}{2}\).
Vì ΔABC ∽ ΔA'B'C' nên \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{1}{2}\).
Tỉ số diện tích hai hình chữ nhật:
\[\dfrac{S_{ABCD}}{S_{A'B'C'D'}} = \dfrac{AB \cdot BC}{A'B' \cdot B'C'} = \dfrac{AB}{A'B'} \cdot \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\]
Do đó \(S_{A'B'C'D'} = 4 \cdot S_{ABCD}\).
Mà \(S_{ABCD} = 2\) m² nên \(S_{A'B'C'D'} = 4 \cdot 2 = 8\) (m²).