a) Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore:
\[AB^2 = AH^2 + HB^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\]
Suy ra AB = 20 cm.
Xét tam giác AHC vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore:
\[AC^2 = AH^2 + CH^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\]
Suy ra AC = 15 cm.
BC = BH + CH = 16 + 9 = 25 cm, nên \(BC^2 = 625\).
Kiểm tra: \(AB^2 + AC^2 = 400 + 225 = 625 = BC^2\).
Theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A.
b) Trong tam giác AHB:
M là trung điểm của AH, N là trung điểm của BH, nên MN là đường trung bình của tam giác AHB.
Suy ra MN // AB.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC.
Mà MN // AB, do đó MN ⊥ AC.
Xét tam giác ACN: AH ⊥ CN tại H (vì AH ⊥ BC theo giả thiết) và MN ⊥ AC (vừa chứng minh). Hai đường AH và MN đều là đường cao của tam giác ACN và cắt nhau tại M. Vậy M là trực tâm của tam giác ACN, do đó CM ⊥ AN.
c) M là trung điểm AH nên \(AM = \dfrac{AH}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\) cm.
N là trung điểm BH nên \(HN = \dfrac{BH}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\) cm.
Tam giác AMN có AM ⊥ HN (vì MN ⊥ AH), với AM là đáy và HN là chiều cao hạ từ N xuống AM:
\[S_{\Delta AMN} = \frac{AM \times HN}{2} = \frac{6 \times 8}{2} = 24 \text{ cm}^2\]
