a) Vì MP ⊥ AC và AB ⊥ AC, hai đường thẳng cùng vuông góc với AC nên MP // AB.
Do MP // AB, suy ra \(\widehat{CMP} = \widehat{B}\) (hai góc đồng vị).
Xét tam giác vuông CMP và tam giác vuông MBN:
- CM = MB (M là trung điểm BC)
- \(\widehat{CMP} = \widehat{B}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\Delta CMP = \Delta MBN\) (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Xét tứ giác APMN:
- \(\widehat{A} = 90°\) (tam giác ABC vuông tại A)
- \(\widehat{P} = 90°\) (MP ⊥ CA)
- \(\widehat{N} = 90°\) (MN ⊥ AB)
Tứ giác có ba góc vuông nên APMN là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật APMN: MN // AP và MN = AP, nên MN // AC. Trong tam giác ABC, M là trung điểm BC và MN // AC, theo định lý đường trung bình, N là trung điểm AB.
Tương tự, MP // AB và M là trung điểm BC, theo định lý đường trung bình, P là trung điểm AC.
c) Theo câu b, P là trung điểm AC. Theo giả thiết, P là trung điểm MQ.
Vậy hai đường chéo AC và MQ của tứ giác AMCQ cắt nhau tại P và P là trung điểm của mỗi đường.
Ngoài ra MP ⊥ AC (gt), tức AC ⊥ MQ.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AMCQ là hình thoi.
d) Khi tam giác ABC vuông cân tại A, tức AB = AC.
AM là đường trung tuyến của tam giác vuông cân tại A ứng với cạnh BC. Trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền cũng là đường cao, nên AM ⊥ MC, tức \(\widehat{AMC} = 90°\).
Hình thoi AMCQ có \(\widehat{AMC} = 90°\), suy ra AMCQ là hình vuông.
