Chứng minh trung điểm bốn cạnh hình thoi tạo thành hình chữ nhật

Giả sử ABCD là hình thoi. Gọi E, H, G, F lần lượt là trung điểm của AB, AD, DC, CB. Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA. E là trung điểm AB, H là trung điểm AD nên \(AE = \dfrac{AB}{2}\) và \(AH = \dfrac{AD}{2}\), suy ra AE = AH. Tam giác AEH có AE = AH nên cân tại A, do đó: \[\widehat{AHE} = \widehat{AEH} = \frac{180° - \widehat{HAE}}{2}\] Tương tự, H là trung điểm AD, G là trung điểm DC nên DH = DG. Tam giác DHG cân tại D, do đó: \[\widehat{DHG} = \frac{180° - \widehat{HDG}}{2}\] Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD. Hai góc trong cùng phía tạo bởi hai đường thẳng song song AB, CD và cát tuyến AD bù nhau: \[\widehat{HAE} + \widehat{HDG} = 180°\] Khi đó: \[\widehat{AHE} + \widehat{DHG} = \frac{180° - \widehat{HAE}}{2} + \frac{180° - \widehat{HDG}}{2}\] \[= \frac{360° - (\widehat{HAE} + \widehat{HDG})}{2} = \frac{360° - 180°}{2} = 90°\] Vì E, H, G nằm sao cho ba góc \(\widehat{AHE}\), \(\widehat{EHG}\), \(\widehat{DHG}\) kề nhau trên đường thẳng AD: \[\widehat{AHE} + \widehat{EHG} + \widehat{DHG} = 180°\] \[\Rightarrow \widehat{EHG} = 180° - 90° = 90°\] Chứng minh hoàn toàn tương tự tại các đỉnh E, F, G, ta được: \[\widehat{HEF} = \widehat{EFG} = \widehat{FGH} = 90°\] Tứ giác EFGH có bốn góc đều bằng 90° nên EFGH là hình chữ nhật. (đpcm)